কোণ কাকে বলে - বৈশিষ্ট্য ও প্রকারভেদ

কোণের সংজ্ঞা - ব্যবহার ও প্রকারভেদ

এখানে যা থাকছে---

• কোণ কাকে বলে
• কোণ কত প্রকার ও কি কি
• কোণের ব্যবহার
• কোণের সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্য

কোণ - সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য ও প্রকারভেদ

জ্যামিতিতে ভালো করতে বা গণিতে দক্ষতা বাড়াতে এর মৌলিক বিষয় গুলো অবশ্যই জেনে রাখা উচিত। জ্যামিতির তেমনি একটি মৌলিক বিষয় কোণ। কোণ অংকন, চিহ্নিত করণ, কোণের বর্ণনা ও সঠিক ব্যবহার করতে কোণ সম্পর্কে ধারনার্জনের বিকল্প নেই। আমাদের আজকের আলোচনা, কোন কি, কাকে বলে, এর সংজ্ঞা, কোণের ব্যবহার ও বৈশিষ্ট্য নিয়ে। আশাকরি মনযোগ সহকারে আর্টিকেলেটি পড়লে কোণ সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে ও বুঝতে পারবো। 

সাধারণ অর্থে কোণ কি বা কাকে বলেঃ

কোণ শব্দের অর্থ কোণা। যেমন, ঘরের কোণা, ছাদের কোণা, টেবিলের কোণা, খাটের কোণা, ইত্যাদি। এই কোণা সাধারণত দুটি বাহু মিলিত হয়ে উৎপন্ন হয়। সুতারং দুটি বাহু কোনো এক জায়গাতে বা বিন্দুতে মিলিত হলে তাকে কোণ বা কোণা বলে।

গণিতের ভাষায় কোণ বলতে কি বোঝায়, কোণের সংজ্ঞাঃ

ইংরেজী Angle শব্দের বাংলা আভিধানিক অর্থ কোণ। জ্যামিতি তথা গণিতের ভাষায় কোণ কাকে বলে বা কোণ বলতে কি বোঝায় বা কোণের সংজ্ঞা কি সেটা জানার আগে রশ্মি সম্পর্কে জেনে নেওয়া উচিত। সাধারণত রশ্মি বলতে সেই সরল রেখাকে বোঝায় যার এক প্রান্তে তীর চিহ্ন আছে কিন্তু অপার প্রান্তে কোনো তীর চিহ্ন নেই। অর্থাৎ রশ্মি দেখতে বর্শা'র মতো। তীর চিহ্ন অসীম বা সীমাহীন বোঝাতে ব্যবহার করা হয়। রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। অপার দিকে, রশ্মির যে প্রান্তে তীর চিহ্ন থাকে না সেই প্রান্ত কে রশ্মির প্রান্ত বিন্দু বলে। (রশ্মি সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে এখানে ক্লিক করুন>>) দুটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দু মিলিত হলে কোণ উৎপন্ন হয়। সুতারং, দুটি রশ্মির প্রান্ত বা শেষ বিন্দু মিলিত হয়ে যে কোণার সৃষ্টি হয় তাকে কোণ বলে। অন্য ভাবে বলা যায়, দুটি রেখা কোনো এক বিন্দুতে মিলিত হলে বা ছেদ করলে কোণ উৎপন্ন হয়।

কোণের ব্যবহারঃ

পরিমাপে কোণের ব্যবহার ব্যপক। ত্রিকোণমিতি তে কোণ ব্যবহার করে বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা হয়। পরিমিতি তে কোণ ব্যবহার করে বস্তুর আয়তন নির্ণয় করা হয়। নকশা সহ দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত প্রায় প্রতিটি বস্তু তৈরীতে কোণ তৈরি ও তার পরিমাপের প্রয়োজন হয়ে থাকে। আমাদের আশেপাশের সর্বত্র কোণের ছড়াছড়ি। তাই পৃথিবীর সর্বত্র কোণের উপস্থিতি ও ব্যবহার বিদ্যামান। 

কোণের শীর্ষ বিন্দু বলতে কি বোঝায়ঃ

আগেয় জেনেছি একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দু মিলিত হয়ে কোণ উৎপন্ন হয়। রশ্মি দ্বয়ের প্রান্ত বিন্দু দ্বয় যে স্থানে বা বিন্দুতে একে অপরের সাথে মিলিত হয় সেই স্থন বা বিন্দু কে কোণের শীর্ষ বিন্দু বলে।

গণিতে ভালো করার উপায়- ক্লিক >> রেখা রশ্মি ও রেখাংশের পার্থক্য- ক্লিক >> মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র ও নিয়ম- ক্লিক >> জিডি করার নিয়ম- ক্লিক >>

কোণের বৈশিষ্ট্য সমূহঃ

নিম্নে কোণের কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য তুলে ধরা হলো-

• ১. একটি কোণ হতে ২ টি রশ্মির প্রয়োজন হয়।
• ২. একটি কোণে একটি মাত্র শীর্ষ বিন্দু থাকে।
• ৩. একটি কোণের পরিমাণ ৩৬০º এর চেয়ে কখনোয়  বড় হওয়া সম্ভব নয়।
• ৪. সাধারণ একটি কোণের দুটি বাহুতে একটি করে তীর বা অসীম চিহ্ন থাকে।
• ৫. একটি কোণের বাহু দুটি কে যত বড় বা ছোট করা হোক না কেন, কোণের পরিমাপের কোনো পরিবর্তন হয় না, অর্থাৎ কোণের পরিমাণ একই থাকে।
• ৬. কোনের পরিমাপের পরিবর্তন করতে হলে এর বাহু দুটি'র মধ্যকার দূরত্ব কম বা বেশি করতে হয়।
• ৭. তিনটি রেখা বা রশ্মি দ্বারা সর্বচ্চো ২ টি কোণ আকা সম্ভব।
• ৮. একটি কোণের শীর্ষ বিন্দু দিয়ে অন্য কোনো সরলরেখা চলে গেলে দুটি কোণের সৃষ্টি হয়।
• ৯. দুইটি সরলরেখা একে অপরকে ছেদ করে শুধুমাত্র চারটি কোণ উৎপন্ন করতে পারে।
• ১০. একটি বিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন হয় তার পরিমাণ ৩৬০º বা দুই সরলকোণ বা চার সমকোণ।
• ১১. একটি বিন্দুতে যতো কোণ উৎপন্ন করা হোক না কেনো, কোণ গুলোর সমষ্টি সবসময় ৩৬০º হবে।
• ১২. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি বা যোগফল সবসময় ১৮০º হয়।
• ১৩. চতুর্ভুজের কোণ গুলোর যোগফল সবসময় ৩৬০º হয়।
• ১৪. বর্গ ও আয়তের একটি বাহু অপর বাহুর সাথে সমকোণে মিলিত হয়।
• ১৫. বর্গ ও রম্বসের কর্ণ গুলো পরস্পর সমকোণে একে অপরকে ছেদ করে।
• ১৬. বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ গুলোর যোগফল ১৮০º হয়।
• ১৭. দুটি সন্নিহিত সমকোণ একটি সরলরেখা সৃষ্টি করে।
• ১৮. দুটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দু মিলিত হয়ে কোণ উৎপন্ন করলে একটি কোণ ও একটি প্রবৃদ্ধ কোণ সৃষ্টি হয়।
• ১৯. বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ ৩৬০º।
• ২০. বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
• ২১. বৃত্তের ব্যাসের উপর অংকিত বৃত্তস্থ কোণ গুলো সমকোণ হয়।
• ২২. ত্রিভুজের যে কোনো এক বাহু বর্ধিত করলে ত্রিভুজের বাইরে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা এর অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টির সমান হয়।
• ২৩. ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু গুলো পরস্পর সমান।
• ২৪. ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতম হয়।
• ২৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অবনতি কোণ সর্বদা উন্নতি কোণের সমান হয়।
• ২৬. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ২ টি সমান কোণ থাকে।
• ২৭. সমবাহু ত্রিভুজের কোণ গুলো পরস্পর সমান।
• ২৮. কোনো ত্রিভুজে শুধুমাত্র একটি কোণ সমকোণ অথবা শুধুমাত্র একটি কোণ স্থুলকোণ থাকতে পারে।
• ২৯. কোণের পরিমাপ সাধারণত ডিগ্রি'তে প্রকাশ করা হয় এবং ডিগ্রি চিহ্ন হিসেবে º ব্যবহার করা হয়।
• ৩০. অনির্ধারিত কোণ কে থিটা চিহ্ন অর্থাৎ θ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• ৩১ কোণের বাহু দুটির মিলিত বিন্দু কে কোণের শীর্ষ বিন্দু বলে।

কোণ কত প্রকার ও কি কিঃ

কোণের প্রকার ভেদ করা খুবি বিশদ আলোচনা। নানান ভাবে কোণের শ্রেণী বিভাগ করা যায়। যে সকল বিষয়ের উপর ভিত্তি করে কোণ কে শ্রেণী বিভক্ত করা হয়, সে সকল দৃষ্টিভঙ্গি নিম্নরূপ-

• ১. সমকোণের ভিত্তিতে কোণের প্রকারভেদ
• ২. সামষ্টিক মানের উপর ভিত্তি করে কোণ প্রকরণ
• ৩. সমান্তরাল সরলরেখার ভিত্তিতে কোণ প্রকরণ
• ৪. ক্ষেত্রে অবস্থানের ভিত্তিতে কোণের প্রকারভেদ
• ৫. আলোকরশ্মি এর ভিত্তিতে কোণের প্রকারভেদ
• ৬. অন্যান্য প্রকারভেদ

সমকোণের ভিত্তিতে কোণ প্রকরণঃ

সমকোণের ভিত্তিতে কোণ কে সাধারণত ৪ টি ভাগে ভাগ যেতে পারে, যথা-

• ১. সমকোণ - এক সমকোণ বা ৯০º এর সমান কোণ কে সমকোণ বলে।
• ২. সূক্ষকোণ - ৯০º থেকে ছোট কোণ কে সুক্ষকোণ বলে।
• ৩. স্থুলকোণ - ৯০º থেকে বড় কিন্তু ১৮০º থেকে ছোট কোণ কে স্থুলকোণ বলে।
• ৪. সরলকোণ - দুই সমকোণ এর সমান বা একটি সরলরেখার কোনো এক বিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে সরলকোণ বলে।

সামষ্টিক মানের উপর ভিত্তি করে কোণের প্রকারভেদঃ

দুটি কোণ পাশাপাশি অবস্থান করলে, অবস্থানের ভিত্তিতে কোণ কে ২ টি ভাগে ভাগ করা যেতে পারে, যথা-

• ১. সন্নিহিত কোণ - দুটি কোণের একটি সাধারণ বাহু থাকলে তাদের একটি কে অপরটির সন্নিহিত কোণ বলে।
• ২. পূরক কোণ - দুটি কোণের যোগফল বা সমষ্টি ৯০º বা এক সমকোণ এর সমান হলে তাদের একটি কে অপরটির পূরক কোণ বলে।
• ৩. সম্পূরক কোণ - দুটি কোণের যোগফল বা সমষ্টি ১৮০º বা দুই সমকোণ এর সমান হলে তাদের একটি কে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

সমান্তরাল সরলরেখার ভিত্তিতে কোণের প্রকারভেদঃ

দুই বা দুই এর বেশি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর কোনো সরলরেখা ছেদ করলে যে সকল কোণ উৎপন্ন হয় তার ভিত্তিতে শ্রেণীবিভাগ গুলো নিম্নরূপ-

• ১. একান্তর কোণ - দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে সমান্তরাল সরলরেখা দুটির বিপরীত দিকে এবং ছেদকের বিপরীত বা উভয় পাশে যে সকল কোণ জোড়ার সৃষ্টি হয় তাদের প্রতি জোড়ার একটি কে অপরটির একান্তর কোণ বলে।
• ২. অনুরূপ কোণ - দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে সমান্তরাল সরলরেখা দুটির একই দিকে এবং ছেদকের একই পাশে যে সকল কোণ জোড়ার সৃষ্টি হয় তাদের প্রতি জোড়ার একটি কে অপরটির অনুরূপ কোণ বলে।

ক্ষেত্রে অবস্থানগত দিক দিয়ে কোণের প্রকারভেদঃ

কোনো ক্ষেত্রের বাইরে ও ভিতরে অবস্থানের উপর ভিত্তি করে কোণ কে ৩ টি ভাগে ভাগ করা যেতে পারে, যথা-

• ১. অন্তঃস্থ কোণ - কোনো ক্ষেত্রের তথা ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ বা বহুভুজের অভ্যান্তরে বা ভিতরে যে সকল কোণ উৎপন্ন হয় তাদের প্রত্যেকটি কোণ কে সেই ক্ষেত্রের অন্তঃস্থ কোণ বলে।
• ২. বহিঃস্থ কোণ - কোনো ক্ষেত্রের তথা ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ বা বহুভুজের কোনো এক বাহুকে বাইরের দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ বা বাইরে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে বহিঃস্থ কোণ বলে।
• ৩. বিপরীত কোণ - কোনো ক্ষেত্রের একটি কোণের উল্টো বা বিপরীত দিকে অবস্থিত কোণ কে সেই কোণের বিপরীত কোণ বলে।

আলোকরশ্মি ভিত্তিতে কোণের প্রকারভেদঃ

আলোকরশ্মির বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিভঙ্গি  হিসেবে কোণের প্রকারভেদ গুলো বিভিন্ন হতে পারে, যেমন-

• ১. আপতন কোণ - আপতিত রশ্মি অবিলম্বের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে আপাতন কোণ বলে।
• ২. প্রতিফলন কোণ - প্রতিফলিত রশ্মি অবিলম্বের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে প্রতিফলন কোণ বলে।
• ৩. প্রতিসরণ কোণ -প্রতিসরিত রশ্মি অবিলম্বের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে আলোর প্রতিসরণ কোণ বলে।
• ৪. ক্রান্তি কোণ - আপতন কোণের পরিমাপ যখন ৯০º হয় তখন সেই আপতন কোণকে ক্রান্তি কোণ বলা হয়ে থাকে।
• ৫. সংকট কোণ - ক্রান্তি কোণ এবং সংকট কোণ একই। সুতারং আপতন কোণের পরিমাপ ৯০º হলে তখন তাকে সংকট কোণ বা ক্রান্তি কোণ বলা হয়ে থাকে।

কোণের অন্যান্য প্রকারভেদঃ

• ১. বিপ্রতীপ কোণ - একটি সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা কোনো এক বিন্দুতে ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের একটির বিপরীত দিকে অবস্থিত অপরটি কে পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ বলে।
• ২. প্রবৃদ্ধ কোণ - একটি রশ্মি বা রেখাংশের প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি বা রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু মিলিত হলে যে কোণ উৎপন্ন হয়, সেই কোণের বাহু দ্বয়ের বাইরে, বাহু দ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বৃহত্তর বা বড় কোণ কে সেই কোণের প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
• ৩. কেন্দ্রস্থ কোণ - বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কে বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।
• ৪. বৃত্তস্থ কোণ - বৃত্তের অভ্যান্তরে বৃত্তে বা পরিধির উপর উৎপন্ন কোণ কে বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ বলে।
• ৫. বন্ধন কোণ - অণু বা কোনো বস্তুর ক্ষুদ্রতর কণা গুলোর একে অপরের আবদ্ধ বা বন্ধনের কারণে একে অপরের সাথে লেগে থাকে। একটি অণু বা কণার সাথে আরেকটি অণু বা কণা পরস্পর লেগে থাকতে একে অপরের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বন্ধন কোণ বলে।
• ৬. স্পর্শ কোণ - কোনো তরল যেমন, পানি, তেল ইত্যাদি কোনো কঠিন পদার্থ যেমন, কচু পাতা, পলেথিন ইত্যাদির সংস্পর্শে আসে তখন তরল পদার্থের মধ্যে কঠিন পদার্থের স্পর্শ পেয়ে এক ধরনের কোণের সৃষ্টি হয়, তরলে কঠিনের স্পর্শে উৎপন্ন এই কোণ কে স্পর্শ কোণ বলে।
• ৭. উন্নতি কোণ - সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি থেকে উৎপন্ন কোণ কে উন্নতি কোণ বলে।
• ৮. অবনতি কোণ - সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু দিয়ে ভূমির সমান্তরাল কোনো রেখা কল্পনা করলে সেই কল্পিত রেখা ও ত্রিভুজের অতিভুজ যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে।

উপরোক্ত কোণ গুলো ছাড়া কোণের আরো অনেক প্রকার রয়েছে। পরিমাপের ক্ষেত্রে কোণের ধারণা থাকা আবশ্যক। আশাকরি কোণ সম্পর্কিত উপরোক্ত তথ্য গুলো আমাদের খুবি উপকারে আসবে। 

আজ এ পর্যন্তই। আশাকরি খুব শিঘ্রই হাজির হবো অন্য কোণ বিষয় নিয়ে। আপনাদের জিজ্ঞাসা গুলো নিচের কমেন্ট/মন্তব্য অপশনে লিখে জানান।

শুভকামনায়---

কে-মাহমুদ

২৬-০৬-২১