দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ

দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশের সহজ নিয়ম

এখানে যা থাকছে-

• দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ
• দুটি রাশির বর্গের সমষ্টি কি
• বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র
• দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের কৌশল
• সহজ নিয়মে দুটি বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

দুটি বর্গের সমষ্টি

কিছু কথাঃ

বীজগণিতে নিজেকে শক্ত করে গড়ে তুলতে এর সূত্র সম্পর্কে ভালো জ্ঞান থাকা জরুরী। ছোটখাটো বিষয় গুলো সমূহে সঠিক ধারনার্জনের মাধ্যমে সেই জ্ঞানের পরিসর কে আরো উন্নত করা সম্ভব। পাটিগণিত ও বীজগণিতে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করার প্রয়োজন পড়ে। আমাদের আজকের আলোচনা দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করার সহজ ও সকল পদ্ধতি বা কৌশল নিয়ে।

বর্গ কিঃ

যে চতুর্ভুজের প্রত্যকটি বাহু সমান এবং কোণ গুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে। বর্গ সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে 1timeschool এর হেডিং থেকে নিজ নিজ শ্রেণীতে ক্লিক করে বর্গ সম্পর্কিত বিষয় বিশদ ভাবে জেনে নিতে পারেন। বর্গ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এক বাহুর বর্গ বা এক বাহুর স্কয়ার বা বাহুর বর্গ বা বাহু²। অর্থাৎ যে কোনো সংখ্যা বা বস্তুর স্কয়ার করলেই তাকে বর্গ বলে। সংখ্যা গুলোতে অনেক পদের যোগফল বা বিয়োগফল থাকলেও সমস্যা নেই। সুতারং সম্পূর্ণ রাশি বা সংখ্যার উপর যদি স্কয়ার দেওয়া হয় তখনি সেটা বর্গ। যেমন- a² একটি বর্গ, (a+b)² একটি বর্গ, (a+b+c)² একটি বর্গ, (a-b)² একটি বর্গ, (a+b-c-d)² একটি বর্গ, 2² একটি বর্গ, 3² একটি বর্গ, (1+2)² একটি বর্গ, (3-6+7)² একটি বর্গ। অর্থাৎ সম্পূর্ণ ভাবে কোনো কিছুর উপরে স্কয়ার দিলে তাকে বর্গ বলে।

সমষ্টি বলতে কি বোঝায়ঃ

সমষ্টি অর্থ যোগফল। একাধিক সংখ্যাকে যোগ বা প্লাস চিহ্ন (+) দিয়ে যুক্ত করলে তখন তাকে বা সেই রাশিকে সমিষ্টি বা যোগফল বলে। যেমন- a+b দুটি সংখ্যার সমষ্টি, a+b+c তিনটি সংখ্যার সমষ্টি,  a+3+c+e চারটি সংখ্যার সমষ্টি। আবার (a-b)+(b+c) কিন্তু দুটি সংখ্যার সমষ্টি বা দুটি রাশির সমষ্টি অর্থাৎ, এখানে (a-b) এবং (b+c) এর সমষ্টি হচ্ছে (a-b)+(b+c). সুতারং সংখ্যা বা রাশি গুলোর মাঝে প্লাস চিহ্ন দিলেই তখন তাদের সমষ্টি বা সমষ্টি রূপ বলে।

দুটি রাশির সমষ্টি রূপ কিঃ

দুটি সংখ্যা বা দুটি রাশির মাঝে যোগ অথবা যোগ চিহ্ন দিলে তাদের দুটি সংখ্যার যোগফল বা সমষ্টি রূপ বলে। a+b দুটি সংখ্যার সমষ্টি। আবার (a-b)+c দুটি রাশি বা সংখ্যার সমষ্টি যেখানে সংখ্যা দুটি হলো (a-b) এবং c. অর্থাৎ দুটি রাশি বা সংখ্যা গুলোর মাঝে + চিহ্ন থাকলে তখন তাদের দুটি রাশি বা সংখ্যার সমষ্টি রূপ বলে।

দুটি বর্গের সমষ্টি রূপ - নিচে বিশ্লেষণ করা হলো

একটি সংখ্যা থাকলে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশের নিয়মঃ

একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে এবং সেই সংখ্যাকে দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপে প্রকাশ করতে গেলে নিম্নের ধাপ গুলো অনুসরণ করতে হবে-

• ১. সংখ্যাটি ভেঙ্গে এমন দুটি সংখ্যায় রূপান্তর করার চেষ্টা করতে হবে যেন তাদের প্রত্যেকটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয় এবং এটি করতে 1,2,3,4------ পর্যায়ক্রমে প্রথম ভাগ এর বর্গ করে ২য় ভাগ কেও বর্গ করার চেষ্টা করতে হবে।
• ২. সংখ্যা দুটির মাঝে যোগ চিহ্ন দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে।

বুঝতে সমস্যা হলে নিচের উদাহরণ লক্ষ্য করি-

যেমন- 34 এর দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপ হবে,

34 কে 1 থেকে শুরু করে পর্যায় ক্রমে বর্গ রূপে বিভক্ত করার চেষ্টা করে পাই,

34= 1²+33 একটি বর্গ অন্যটি নয়

অথবা, 34=2²+30 একটি বর্গ অন্যটি নয়

অথবা, 34=3²+25=3²+5² দুটি বর্গ এবং এটি উত্তর

অথবা, 34=4²+ 18 একটি বর্গ অন্যটি নয়

অথবা, 34=5²+9=5²+3² দুটি বর্গ এবং এটি উত্তর

[বড় বড় সংখ্যা এভাবে আরো অনেক করা যায়।]

এখানে

3²+25 অথবা 5²+9 হবে নির্ধারিত রূপ কারণ 3² এবং 25 আবার 5² এবং 9 উভয়ি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা সুতারং এদের দুটি বর্গের যোগফল রূপ বা সমষ্টি রূপ 3²+5² অথবা 5²+3².

আরেকটি উদাহরণ লক্ষ্য করি-

26 এর দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপ নির্ণয় করতে আমরা বর্গে বিভক্ত করে পাই,

26=1²+25=1²+5² দুটি বর্গ এবং এটি উত্তর

অথবা, 26=2²+22 একটি বর্গ অন্যটি নয়

অথবা, 26=3²+17 একটি বর্গ অন্যটি নয়

অথবা, 26=4²+10 একটি বর্গ অন্যটি নয়

অথবা, 26=5²+1=5²+1² দুটি বর্গ এবং এটি উত্তর

উপরে 1²+5² এবং 5²+1² উভয়ি দুটি বর্গ সুতারং দুটি বর্গের সমষ্টি 1²+5² অথবা 5²+1².

গড় নির্ণয়ের সকল সূত্র- ক্লিক >> ত্রিভুজের সূত্র সমূহ- ক্লিক >> জানেন কি Sentence কত রকম- ক্লিক >> Link শর্ট করে আয়- ক্লিক >>

দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপে প্রকাশের সূত্রঃ

দুটি বর্গ থাকবে এবং তাদের মাঝে + বা যোগ চিহ্ন থাকবে এমন অবস্থাকে দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপে প্রকাশ করা বলে। মনে করি a² এবং b² দুটি বর্গ। সুতারং এদের বা এই দুটি রাশি বা সংখ্যার বর্গের যোগফল রূপ বা সমষ্টি রূপ হবে a²+b². সেই রূপ (a+b)² এবং (b-c+d)² দুটি বর্গ এবং এদের বা বর্গ দুটির সমষ্টি বা যোগফল রূপ হবে (a+b)²+(b-c+d)². অর্থাৎ দুটি বর্গের মাঝে যোগ চিহ্ন দিলে তখন তাদের দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপ বলে। দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশের সূত্র-

a²+b² একটি দুটি বর্গের সমষ্টি রূপের সূত্র এবং এই সূত্র তখনি হবে যখন কোনো রাশি (a+b)²-2ab অথবা (a-b)²+2ab অথবা {(a+b)²+(a-b)²}÷2 রূপে থাকবে। কারণ, a²+b² = (a+b)²-2ab অথবা (a-b)²+2ab অথবা {(a+b)²+(a-b)²}÷2 লেখা যায়।

একাধিক পদ যুক্ত সংখ্যা থাকলে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশের নিয়মঃ

একাধিক পদ যুক্ত রাশি বা সংখ্যা সাধারন্ত বীজগণিতে বেশি থাকে। কোনো রাশি কে দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপে প্রকাশ করতে হলে নিম্নের ধাপ গুলো অনুসরণ করতে হবে-

• ১. রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
• ২. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পর a²+b² এর সূত্রে প্রয়োগ করার চেষ্টা করতে হবে।
• ৩. সূত্রে প্রয়োগ করার পর যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ করা গেলে সেটা করতে হবে।
• ৪. উত্তর a²+b² আকারে রাখতে হবে।

এখন a²-b(2a-b)+9 কে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে বা যোগফল রূপে প্রকাশ করলে প্রক্রিয়া দাড়াবে-

a²-b(2a-b)+9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই-

=a²-b(2a-b)+9

=a²-2ab+b²+9

=(a-b)²+3² এর পরে আরো করা যায় কিন্তু দুটি বর্গের সমষ্টি বা যোগফল রূপে প্রকাশ করতে এটাই উত্তর কারণ এখানে দুটি বর্গ আছে এবং তাদের মাঝে যোগ চিহ্ন আছে।

আরেকটি উদাহরণ লক্ষ্য করি-

a²+6a-4b+13 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই-

=a²+6a-4b+13

=a²+2.a.3+3²+b²-2.b.2+2²

=(a+3)²+(b-2)²

মনেরাখার বিষয়ঃ

• ১. সকল সংখ্যাকে দুটি বর্গের যোগফল রূপে প্রকাশ করা যায় না।
• ২. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করা যায় ৩৪ টি সংখ্যাকে।
• ৩. কিছু কিছু সংখ্যা আছে যার দুটি বর্গের সমষ্টি রূপ একাধিক হতে পারে, যেমন 50 এর দুটি বর্গের সমষ্টি রূপ, 50=1²+7² অথবা, 50=5²+5²  আবার 65 এর দুটি বর্গের সমষ্টি রূপ, 65=1²+8²  অথবা, 65=4²+7² আবার 325 এর দুটি বর্গের সমষ্টি রূপ, 325=1²+18² অথবা, 325=6²+17² অথবা, 10²+15².

বুঝতে কোনো প্রকার সমস্যা হলে নিচে কমেন্ট করে জানালে খুশি হবো।

সকলের শুভকামনায়-

কে-মাহমুদ

১৮-০২-২০২১