ল.সা.গু নির্ণয়ের সহজ ছন্দ

ল.সা.গু করার নিয়ম - মৌলিক গুণনীয়ক,  ইউক্লিডীয় ও ভাগ প্রক্রিয়া

• ল.সা.গু কি কাকে বলে ও ছন্দ পদ্ধতি
• ল.সা.গু এর পূর্ণরূপ ও বৈশিষ্ট্য
• মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ল.সা.গু
• ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু
• ভগ্নাংশের ল.সা.গু করার নিয়ম
• ভাগ প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতি

ল.সা.গু করার নিয়ম

লঘিষ্ঠঃ

লঘিষ্ঠ অর্থ লঘু বা ছোট। রোদেলার আছে ১০ টাকা, লিখনের আছে ১৫ টাকা এবং নিরবের আছে ৩০ টাকা। এখানে সবচেয়ে কম টাকা আছে রোদেলার সুতারং রোদেলার আছে লঘু টাকা বা কম টাকা।

সাধারণঃ

সাধারণ অর্থ যা সব জায়গাতে আছে বা পাওয়া যায় এমন। রোদেলার আছে লাল ও নীল জামা, লিখনের আছে লাল ও কালো জামা এবং নিরবের আছে লাল ও হলুদ জামা। এখানে প্রত্যেকের লাল জামা'তে মিল রয়েছে সুতারং তাদের সাধারণ জামা হবে লাল জামা। অর্থাৎ যা সকলের মাঝে মিল আছে তাকেই সাধারণ বলে।

গুণিতকঃ

গুণিতক অর্থ গুণ করে বের করা হয়েছে এমন। অর্থাৎ নামতা। আমরা গুণের যে নামতা পড়ে উত্তর করি তাকেই গুণিতক বলে। ২ এর নামতার উত্তর বা গুণিতক হলো- ২ x ১=২, ২ x ২=৪, ২ x ৩=৬, ২ x ৪=৮, ২ x ৫=১০ - - - - - - - ২ x ২৫=৫০ - - - - - - - ইত্যাদি, যার কোনো শেষ নেই। ৩ এর ঘরের নামতার উত্তর বা গুণিতক হলো- ৩ x ১=৩, ৩ x ২=৬, ৩ x ৩=৯, ৩ x ৪=১২, ৩ x ৫=১৫, ৩ x ৬=১৮ - - - - - - - ৩ x ৫০০=১৫০০ - - - - - - - ইত্যাদি, যার কোনো শেষ নেই। নামতার শেষ নেই তাই কোনো সংখ্যার গুণিতকেরো শেষ নেই। অর্থাৎ ২ এর গুণিতক হবে ২ এর ঘরের নামতার উত্তর বা ২, ৪, ৬, ৮, ১০ - - - - - ইত্যাদি অসংখ্য যার কোনো শেষ নেই।

লঘিষ্ঠ গুণিতক কি বা কাকে বলেঃ

লঘিষ্ঠ গুণিতক এর সংক্ষিপ্ত রূপ ল.গু। ২ এর ঘরের নামতার উত্তর বা ২ এর গুণিতক গুলো হলো ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪ - - - - - ইত্যাদি যা অসংখ্য এবং যার কোনো শেষ নেই। ২ এর গুণিতক গুলোর মাখে ২ হচ্ছে সবচেয়ে ছোটো গুণিতক। সুতারং ২ এর লঘু গুণিতক বা ল.গু হবে ২।

সাধারণ গুণিতক কি বা কাকে বলেঃ

২ এর ঘরের নামতার উত্তর বা ২ এর গুণিতক গুলো হলো ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪, ২৬ - - - - - ইত্যাদি অসংখ্য যার কোনো শেষ নেই। অন্যদিকে ৩ এর ঘরের নামতার উত্তর বা ৩ এর গুণিতক গুলো হলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩ - - - - - - ইত্যাদি অসংখ্য যার কোনো শেষ নেই। এখানে ২ এর গুণিতক ও ৩ এর গুণিতক গুলোর মাঝে ৬, ১২, ১৮, ২৪ - - - - - ইত্যাদি গুণিতক গুলো মিল রয়েছে। ৬, ১২, ১৮, ২৪ - - - - - ইত্যাদি, গুণিতক গুলো যেহেতু ২ ও ৩ উভয় সংখ্যার গুণিতক গুলোর মাঝে রয়েছে, সুতারং ৬, ১২, ১৮, ২৪ - - - - - ইত্যাদি, হবে ২ ও ৩ এর সাধারণ গুণিতক।

ল.সা.গু কি বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক কাকে বলেঃ

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক এর সংক্ষিপ্ত রূপ হচ্ছে ল.সা.গু। লঘিষ্ঠ শব্দের অর্থ ছোট, সাধারণ অর্থ মিল আছে এমন এবং গুণিতক অর্থ গুণফল বা গুণ করে উত্তর হয় এমন। অর্থাৎ ল.সা.গু বলতে সবচেয়ে ছোট সেই গুণফল কে বোঝায় যা সাধারণ বা সকলের মাঝে মিল আছে এমন। অর্থাৎ কোনো সংখ্যার গুণিতক গুলোর মাঝে যে সকল গুণিতক সাধারণ বা মিল রয়েছে সে সকল সাধারণ বা মিল গুণিতক গুলোর মাঝে সবচেয়ে লঘু বা সবচেয়ে ছোটো গুণিতক হবে, ল.সা.গু বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।

ল.সা.গু বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বিশ্লেষণঃ

আগেই আলোচনা করেছি যে ৬, ১২, ১৮, ২৪ - - - - - ইত্যাদি, হচ্ছে ২ ও ৩ এর সাধারণ গুণিতক। অর্থাৎ ২ এবং ৩ এর গুণিতক গুলোর মাঝে এসকল গুণিতক এ মিল রয়েছে। ২ ও ৩ এর সাধারণ বা মিল গুণিতক গুলোর মধ্যে সবচেয়ে লঘু বা ছোট গুণিতক বা গুণফল হলো ৬। সুতারং ২ ও ৩ এর ল.সা.গু হবে ৬।

পাটিগণিত বা সাধারণ সংখ্যাগত দিক দিয়ে ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতিঃ

পাটিগণিতে ল.সা.গু নির্ণয়ের দুটি পদ্ধতি রয়েছে। যথা-

• ১. মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু নির্ণয় 
• ২. ইউক্লিডীয় ভাগ প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু নির্ণয়

নিম্নে পদ্ধতি দুটি সম্পর্কে আলোচনা করা হলো-

মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতিঃ

মৌলিক উৎপাদক বলতে কোনো সংখ্যাকে মৌলিক আকারে বা ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র এককে প্রকাশ করা বোঝায়। যেমন, ১০ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে দাঁড়ায়, ২ ও ৫ যেহেতু ২ ও ৫ উভয়ি মৌলিক সংখ্যা এবং এদের গুণফল ১০। অর্থাৎ ২ x ৫ = ১০। এখন মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্যে প্রথমে সংখ্যা গুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে নিতে হবে এবং তার পর প্রতিটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক গুলোর মাঝে যে গুলো মিল আছে সেগুলোর বড় ভাগ ও যে গুলো মিল নেই সেগুলো এক সাথে গুণ করলে যে উত্তর পাওয়া যাবে সেগুলো হবে নির্ণেয় সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু। ল.সা.গু অর্থ লঘু বা ছোটো সাধারণ গুণিতক বা গুণফল বোঝালেও মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্যে যে গুলো মিল আছে তাদের মাঝে বড় গুলো নিতে হবে এবং অমিল গুলোও নিতে হবে। ১০ ও ১৫০ এর মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্যে প্রথমে ১০ ও ১৫০ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। ১০ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে দাঁড়ায় ১০= ২ x ৫ এবং ১৫০ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে দাঁড়ায় ১৫০= ২ x ৭৫ বা, ২ x ৩ x ২৫ বা, ২ x ৩ x ৫ x ৫। অর্থাৎ-

১০ = ২ x ৫

১৫০ = ২ x ৩ x ৫ x ৫

১০ ও ১৫০ এর মৌলিক গুণনীয়ক গুলোর মাঝে ২ ও ৫ এ মিল রয়েছে। এবং ৩ মিল নেই। সুতারং ১০ ও ১৫০ এর ল.সা.গু হবে -

= (মিল গুণনীয়ক গুলোর মাঝে যেটিতে বেশি বার আছে সে গুলোর গুণফল) x (অমিল গুণনীয়ক গুলোর গুণফল)

= (২ x ৫ x ৫) x (৩)

= ৫০ x ৩

= ১৫০

নির্ণেয় ল.সা.গু = ১৫০

আরেকটি উদাহরণ দিয়ে ব্যপারটি আরো সহজ করা হলো-

২৪, ৫০, ৩৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে। মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই-

২৪ = ২ x ১২ = ২ x ২ x ৬ = ২ x ২ x ২ x ৩

৫০ = ২ x ২৫ = ২ x ৫ x ৫

৩৫ = ৫ x ৭

এখানে ২৪, ৫০ এবং ৩৫ এর গুণনীয়ক গুলোর মাঝে সব গুলোতে মিল না থাকলেও জোড়ায় জোড়ায় মিল আছে। অন্য দিকে অমিল আছে ৩ এবং ৭।

অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু হবে-

= (মিল গুণনীয়ক গুলোর মাঝে যেটিতে বেশি বার আছে সে গুলোর গুণফল) x (অমিল গুণনীয়ক গুলোর গুণফল)

= (২ x ২ x ২ x ৫ x ৫) x (৩ x ৭) 

= ২০০ x ২১

= ৪২০০

নির্ণেয় ল.সা.গু = ৪২০০

ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে বা ভাগ প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতিঃ

ইউক্লিডীয় (ইউক্লিড) পদ্ধতিতে বা ভাগ প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্যে মনে রাখতে হবে কমপক্ষে ২ টি সংখ্যাকে ভাগ করা যায় এমন কোনো সংখ্যা দিয়ে প্রতিবার সংখ্যা গুলোকে ভাগ করতে হবে। যখন কমপক্ষে ২ টি সংখ্যা কে আর ভাগ করা যাবে না তখন ভাগ করা বন্ধ করে, পাশের সংখ্যা গুলোকে গুণ করতে হবে। আর গুণ করে গুণফলি হবে নির্ণেয় ল.সা.গু।

চিত্রে ১২, ৩৪ ও ৩৬ এর ইউক্লিডীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতি দেখানো হলো-

ইউক্লিডীয় বা ভাগ প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু

চিত্রে, ১২, ৩৪ ও ৩৬ কে প্রথমে ২ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে কারন ২ দিয়ে ১২, ৩৪ ও ৩৬ এর প্রত্যেকটি সংখ্যা কে ভাগ করা যায়। ২ দিয়ে ১২ কে ভাগ করলে উত্তর হয়েছে ৬, ২ দিয়ে ৩৪ কে ভাগ করলে উত্তর হয়েছে ১৭ এবং ২ দিয়ে ৩৬ কে ভাগ করলে উত্তর হয়েছে ১৮। উত্তর গুলো ১২, ৩৪ ও ৩৬ এর নিচে লেখা হয়েছে। আবার ৬, ১৭ এবং ১৮ কে ২ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে কারণ ১৭ কে ২ দিয়ে ভাগ করা না গেলেও ৬ ও ১৮ কে ভাগ করা যায়। তাই ২ দিয়ে ভাগ করে নিচের লাইনে লেখা হয়েছে ৩, ১৭ এবং ৯। আবার ৩, ১৭ ও ৯ কে ৩ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে কারণ ৩ দিয়ে ১৭ কে ভাগ করা না গেলেও ৩ দিয়ে ৩ ও ৯ কে ভাগ করা যায়। সুতারং ৩ দিয়ে ভাগ করে নিচের লাইন হয়েছে ১, ১৭ এবং ৩। এর পর আর ভাগ করা যাবে না কারণ, অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে কমপক্ষে দুটি সংখ্যা কে ভাগ করা যায় না। সুতারং ল.সা.গু হবে পাশের ও একদম শেষের সংখ্যা গুলোর গুণফল। অর্থাৎ ২ x ২ x ৩ x ১৭ x ৩ = ৬১২

এখানে গুণ করার সময় ১ বাদ রাখা হয়েছে কারণ ১ দিয়ে গুণ করা আর না করা একি কথা। ১ দিয়ে গুণ করলেও যে উত্তর হয় না করলেও সেই একই উত্তর হয়।

ভগ্নাংশের ল.সা.গু নির্ণয় সূত্র ও পদ্ধতিঃ

ভগ্নাংশের ল.সা.গু নির্ণয় করতে গ.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতিও জানার প্রয়োজন পড়ে (ছন্দে ছন্দে গ.সা.গু শিখতে এখানে ক্লিক করুন)। কারণ,

ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব গুলোর ল.সা.গু ÷ হর গুলোর গ.সা.গু

নিচে একটি উদাহরণের মাধ্যমে ভগ্নাংশের ল.সা.গু নির্ণয় প্রক্রিয়াটি দেখানো হলো-

মনেকরি ³/₄ এবং ⁹/₈ দুটি ভগ্নাংশ যেখানে ১ম ভগ্নাংশের লব 3 এবং ২য় ভগ্নাংশের লব 9 আবার ১ম ভগ্নাংশের হর 4 এবং ২য় ভগ্নাংশের হর 8, এখানে ভগ্নাংশ দুটির ল.সা.গু= লব গুলোর লসাগু ÷ হর গুলোর গ.সা.গু

ভগ্নাংশ দুটিতে লব 3 ও 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করে পাই, লব গুলোর ল.সা.গু=9

ভগ্নাংশ দুটিতে হর 4 ও 8 এর গ.সা.গু নির্ণয় করে পাই, হর গুলোর গ.সা.গু=4

অতএব, নির্ণেয় ভগ্নাংশ দুটির ল.সা.গু = 9÷4 বা ⁹/₄ বা 2¹/₄

বীজগণিতে ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতিঃ

বীজগণিতে ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি মূলত পাটিগণিতে মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু নির্ণয়ের মতোই। অর্থাৎ ধাপ গুলো নিম্ন রূপ-

• ১. প্রথমে, প্রতিটি রাশিকে মৌলিক উৎপাদকে অর্থাৎ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। 
• ২. উৎপাদক গুলোর মাঝে প্রতিটি রাশিতে মিল আছে এমন উৎপাদক গুলো থেকে মিল থালা উৎপাদকের বেশি সংখ্যাক উৎপাদক নিতে হবে। 
• ৩. অমিল উৎপাদক গুলোও নিতে হবে।
• ৪. মিল অমিল সব গুলো উৎপাদকের গুণফল হবে নির্ণেয় ল.সা.গু।

উদাহরণের সাহায্যে বীজগণিতে ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতিঃ

এখানে x²+x, x²-1 এবং x²+2x+1 এর ল.সা.গু নির্ণয় করা হলো-

১ম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ

= x²+x

= x(x+1)

২য় রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ

= x²-1

= x²-1² 

= (x+1)(x-1)

৩য় রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ

= x²+2x+1

= x²+1x+1x+1

= x(x+1)+1(x+1)

= (x+1)(x+1)

নির্ণেয় ল.সা.গু= x(x+1)(x+1)(x-1)

রাশি গুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পর, এখানে প্রথম রাশিতে শুধু x আছে যা অন্য কোনো রাশিতে নেই তাই x উত্তরে অমিল হিসেবে নেওয়া হয়েছে, (x+1) রাশি গুলোর মাঝে মিল রয়েছে এবং সবচেয়ে বেশিবার (x+1) রয়েছে ৩য় রাশিতে তাই ৩ টি (x+1) নেওয়া হয়েছে। (x-1) কোনো রাশিতে মিল নেই বলে এটাও নেওয়া হয়েছে।

ল.সা.গু. নির্ণয়ের শর্ট টিপসঃ

মনে রাখতে হবে, ল.সা.গু. এর উত্তর হবে, মিল গুলোর মাঝে বেশি বা বড় গুলো এবং অমিল গুলোর সবগুলো। সুতারং ল.সা.গু এর উত্তরে রাশি গুলো থেকে মিল অমিল সব যাবে এবং যে গুলো মিলে যাবে সে গুলো থেকে বড় মিল গুলো নিতে হবে।

ছন্দে ছন্দে ল.সা.গুঃ

ছন্দে ছন্দে, কবিতায় কবিতায়, কবিতা ও ছন্দে ল.সা.গু নির্ণয়ের কৌশল শেখা যেতে পারে। ছন্দ টি হল-

"লঘু মানে লঘু নয়

মিল গুলোতে বেশি,

অমিল গুলো চুপটি করে

মিলের সাথে মিশি।"

অর্থাৎ ল.সা.গু নির্ণয়ে মিল গুলোর মাঝে বেশি সংখ্যায় থাকে এমন উৎপাদক গুলো নিতে হবে এবং সেই সাথে অমিল উৎপাদক গুলোর সব নিতে হবে। তাহলেই বেরিয়ে যাবে রাশি গুলোর ল.সা.গু। আশাকরি ছন্দটি মুখস্থ রেখে আমরা সহজেই ল.সা.গু নির্ণয় করতে পারব।

সহজ ও ভিন্ন কৌশলে ল.সা.গু নির্ণয়ঃ

৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে ৩, ৪ ও ৬ এর ঘরের নামতা অর্থাৎ গুণিতক নির্ণয় করি-

৩x১=৩

৩x২=৬

৩x৩=৯

৩x৪=১২

৩x৫=১৫

৩x৬=১৮ 

ইত্যাদি অসংখ্য। 

৪x১=৪ 

৪x২=৮ 

৪x৩=১২

৪x৪=১৬

৪x৫=২০

৪x৬=২৪

৪x৭=২৮

ইত্যাদি অসংখ্য। 

৬x১=৬

৬x২=১২

৬x৩=১৮

৬x৪=২৪

৬x৫=৩০

ইত্যাদি অসংখ্য।

উপরে ৩, ৪ ও ৬ এর গুণিতক গুলোর মাঝে মিল গুণিতক বা ৩ এর গুণিতক, ৪ এর গুণিতক ও ৬ এর গুণিতক গুলোর মাঝে মিল গুণিতক ১২। এখানে তিনটি সংখ্যা গুণিতক গুলোর মাঝে ১২ আছে এবং এর পরে আরো গুণিতকে মিল থকতে পারে তবে ১২ হবে গুণিতক বা গুনফল গুলোর মাঝে সবচেয়ে ছোট বা লঘু মিল থাকা গুণিতক বা সাধারণ গুণিতক। সুতারং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু হবে ১২।

ল.সা.গু এর বৈশিষ্ট্যঃ

• ১. ল.সা.গু হলো রাশি গুলোর গুণিতক গুলোর মাঝে মিল থাকা সবচেয়ে ছোটো গুণিতক। 
• ২. রাশি গুলোকে তাদের ল.সা.গু দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না অর্থাৎ নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। 
• ৩. রাশি গুলোর ল.সা.গু কে তাদের যে কোনো একটি রাশি দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল অপর রাশি গুলোর গুণফলের সমান হয়। 
• ৪. ল.সা.গু সবসময় রাশি গুলোর মাঝে সবচেয়ে বড় সংখ্যার সমান অথবা বড় সংখ্যা থেকে বেশি হয় কিন্তু কখনোই ছোটো বা কম হয় না। 
• ৫. দুটি সংখ্যার গুণফল হয় সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফলের সমান।

ল.সা.গু সম্পর্কে কোনো প্রশ্ন বা মতামত থাকলে নিচে মন্তব্য বা কমেন্ট করে জানালে খুশি হবো।

সকলের শুভকামনায়-

কে-মাহমুদ

২২-০১-২০২১