ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রাবলী

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় - সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিসমবাহু ও সমকোণী ত্রিভুজ

---

• সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
• বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
• সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
• সমকোণী-সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
• যে কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র

---

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

পরিমিতির নাম শুনলেই যেন জ্বর আসে। পরিমিতির গাণিতিক সমস্যা সমাধানে আজকের এই প্রচেষ্টা। পরিমিতির সূত্রাবলী সম্পর্কে সঠিক ধারনার্জনের মাধ্যমেই আমরা গাণিতিক সমস্যা খুব সহজেই সমাধান করতে পারবো। আশাকরি আজকের আলোচনায় পরিমিতি হবে খুব সোজা।

ত্রিভুজ কিঃ

ইংরেজী Triangle শব্দের বাংলা আভিধানিক অর্থ ত্রিভুজ। সাধারন্ত তিনটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্র কে ত্রিভুজ বলে। সুতারং ত্রিভুজ হল তিনটি বাহু বা সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্র বা রূপ। ত্রিভুজের ব্যবহার ব্যাপক। জ্যামিতি, ত্রিকোণমিতি বা ত্রিকোণমিতিক সূত্র ও ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয় সহ ভূমি ও ক্ষেত্রফল পরিমাপে ত্রিভুজ ও এর সূত্রাবলী প্রয়োগ হয়ে থাকে। ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য, ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয়ের মাধ্যমে গাণিতিক ও জ্যামিতিক সমস্যাবলীর সমাধান করা হয়ে থাকে। ত্রিভুজে তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ থাকে। সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল বা সমষ্টি এক সরলকোণ বা দুই সমকোণ বা ১৮০⁰ হয়। সমকোণী ত্রিভুুুজে পিথাগোরাস এক অনন্য উপপাদ্য বিবৃত করেছেন। সার্বিক দিক দিয়ে ত্রিভুজের ভুুুুুুমিকা ব্যাপক।

ত্রিভুজ ক্ষেত্র কিঃ

তিনটি রেখা বা বাহু দ্বারা আবদ্ধ হলেই তাকে ত্রিভুজ বলে। ক্ষেত্র বলতে জায়গা বোঝায়। সুতারং ত্রিভুজ ক্ষেত্র বলতে সেই জায়গা বা ক্ষেত্রকে বোঝায় যা তিনটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ। অর্থাৎ তিনটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র বা জায়গাকে ত্রিভুজ ক্ষেত্র বলে।

ত্রিভুজের প্রকারভেদঃ

কোণ ভেদে বা কোনের দিক দিয়ে ত্রিভুজকে তিন ভাগে ভাগ করা হয় যথা-

• ১. সমকোণী ত্রিভুজ (যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা ৯০⁰ এর সমান তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে) 
• ২. সূক্ষকোণী ত্রিভুজ (যে ত্রিভুজের তিনটি কোণি ৯০⁰ থেকে ছোট তাকে সূক্ষকোণী ত্রিভুজ বলে) 
• ৩. স্থূলকোণী ত্রিভুজ (যে ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০⁰ থেকে বড় বা স্থূলকোণী তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে)

আবার, বাহু ভেদে বা বাহুর সমতা অনুযায়ী ত্রিভুজ তিন প্রকার যথা-

• ১. বিসমবাহু ত্রিভুজ (যে ত্রিভুজের কোনো বাহুই সমান নয় তাকে বিসমবাহু ত্রিভুজ বলে) 
• ২. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে) 
• ৩. সমবাহু ত্রিভুজ (যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি বাহু সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে)

বাহু ও কোণ ভেদে ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য ও সমতা করণঃ

• ১. সমকোণী ত্রিভুজ অনেক সময় সমদ্বিবাহু ত্রিভুজো হতে পারে আবার বিসমবাহু ত্রিভুজো হতে পারে কিন্তু কখনোই সমবাহু ত্রিভুজ হতে পারে না। 
• ২. স্থূলকোণী ত্রিভুজ অনেক সময় সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হতে পারে আবার বিসমবাহু ত্রিভুজ হতে পারে কিন্তু কখনোই সমবাহু ত্রিভুজ হতে পারে না। 
• ৩. সূক্ষকোণী ত্রিভুজ সমবাহু ত্রিভুজ হতে পারে, বিষমবাহু ত্রিভুজ হতে পারে আবার সমদ্বিবাহু ত্রিভুজো হতে পারে। 
• ৪. সমবাহু ত্রিভুজ সবসময় সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়ে থাকে। 
• ৫. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ স্থূলকোণী ত্রিভুজ, সমকোণী ত্রিভুজ এমনকি সুক্ষকোণী ত্রিভুজো হতে পারে। 
• ৬. বিসমবাহু ত্রিভুজ স্থূলকোণী ত্রিভুজ, সমকোণী ত্রিভুজ এমনকি সুক্ষকোণী ত্রিভুজো হতে পারে।

যে কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

• ১. ভূমি = a এবং উচ্চতা = h ধরলে, ক্ষেত্রফল = ¹/₂ x ভূমি x উচ্চতা বা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x a x h 
• ২. অন্যভাবে বলা যায়, ক্ষেত্রফল= (ভূমি x উচ্চতা) ÷ ২ বা, ক্ষেত্রফল= ah÷2

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

সমকোণী ত্রিভুজ

• ১. অতিভুজ = a এবং উচ্চতা = h ধরলে, ক্ষেত্রফল = ¹/₂ x অতিভুজ x উচ্চতা বা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x a x h 
• ২. অন্যভাবে বলা যায়, ক্ষেত্রফল= (ভূমি x উচ্চতা) ÷ ২ বা, ক্ষেত্রফল= ah÷2 
• ৩. অথবা, বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করা যাবে।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

সমবাহু ত্রিভুজ

সমবাহু ত্রিভুজের সমানসমান বাহু = a ধরলে, 

• ১. ক্ষেত্রফল= √3/₄ x a² 
•  ২. অথবা, ক্ষেত্রফল= √3a²/₄ 
•  ৩. অথবা, ক্ষেত্রফল= √3a ÷ 4 
• ৪. অথবা, ক্ষেত্রফল= √3/₄ গুণ একবাহুর বর্গ বা স্কয়ার। 
• ৫. অথবা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x ভূমি x উচ্চতা 
• ৬. অথবা, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সুত্র প্রয়োগ করা যাবে। 
• ৭. অথবা, বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করা যাবে।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সুত্রঃ

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

• ১. সমানসমান বাহু = a এবং ভূমি = b ধরলে, ক্ষেত্রফল= b/₄ √(4a²-b²) অথবা, ক্ষেত্রফল= (b÷4) x √(4a²-b²) অথবা, ক্ষেত্রফল= {b√(4a²-b²)}÷4 
• ২. অথবা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x ভূমি x উচ্চতা 
• ৩. অথবা, বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করা যাবে।

বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

বিসমবাহু ত্রিভুজ

• ১. একবাহু = a, অপরবাহু = b, অন্যবাহু c এবং অর্ধপরিসীমা s=(a+b+c)÷2 ধরলে, ক্ষেত্রফল= √{s(s-a)(s-b)(s-c)} 
• ২. অথবা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x ভূমি x উচ্চতা

কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a ও অপর বাহুর দৈর্ঘ্য b এবং বাহুদুটির অন্তর্ভূত বা ভিতরের কোণের পরিমাণ C⁰ ধরলে, 

• ১. ক্ষেত্রফল= ¹/₂ ab sinC⁰ বা, ক্ষেত্রফল= {ab sinC⁰}÷2 
• ২. অথবা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x ভূমি x উচ্চতা

সমকোণী-সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ

সমকোণী-সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

• ১. অতিভুজ = a এবং উচ্চতা = h ধরলে, ক্ষেত্রফল = ¹/₂ x অতিভুজ x উচ্চতা বা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x a x h 
• ২. অথবা, বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করা যাবে। 
• ৩. সমানসমান বাহু = a এবং অতিভুজ = b ধরলে, ক্ষেত্রফল= b/₄ √(4a²-b²) 
• ৪. অথবা, ক্ষেত্রফল= ¹/₂ x ভূমি x উচ্চতা 
• ৫. সমকোণী-সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ অথবা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোনো সূত্র প্রয়োগ করা যাবে।

উপরোক্ত ক্ষেত্রফল গুলো নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, বিসমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, দুটি বাহু ও অন্তর্ভূত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, সমকোণীসমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই ভাগ গুলোতে বিভক্ত করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। প্রশ্নে বাহু বা কোণের মান দেওয়া থাকলে যে যে মান দেওয়া থাকবে সেই মান অনুযায়ী কোন ধরনের ক্ষেত্রফল প্রয়োগ করা যায় সেটি খেয়াল রাখতে হবে।

উপরের ক্ষেত্রফল গুলো বিশ্লেষণ থেকে আশাকরি সকলে এখন থেকে সকল ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুব সহজেই নির্ণয় করতে পারবো। ত্রিভুজ সম্পর্কে ধারণা দিতে পেরে আমরা আন্দিত। আশাকরি আমাদের সাথেই থাকবেন।

---

সকলের শুভকামনায় আজ বিদায়-

কে-মাহমুদ

২৭-১২-২০২০