উৎপাদকে বিশ্লেষণ - সহজ পদ্ধতি

উৎপাদক নির্ণয়ের সূত্র ও নিয়ম

উৎপাদক কি, কাকে বলে এবং বীজগণিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার শর্ট আর সহজ সূত্র। এখন উৎপাদক হবে খুব সোজা!

উৎপাদকে বিশ্লেষণ

বীজগণিত এমনকি পাটিগণিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণের ব্যাপক ভূমিকা রয়েছে। উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে কমন নেওয়া, লসাগু ও গসাগু নির্ণয়, গুন ও ভাগ করা, সরলীকরণ এর মাধ্যমে যোগ বিয়োগ করা খুব দ্রুত ও সহজেই সম্ভব হয়ে থাকে। সুতারং গণিত শাস্ত্রে উৎপাদকের ভূমিকা অপরিসীম। আমাদের আজকের আলোচনার বিষয়, উৎপাদকে বিশ্লেষণ কি বা কাকে বলে, উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা নির্ণয়ে ব্যবহৃত সূত্র ও উৎপাদকে বিশ্লেষণের নিয়ম বা পদ্ধতি নিয়ে।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ কি বা কাকে বলেঃ

উৎপাদকে বিশ্লেষণ কে আমরা মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলে থাকি। মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা ঐ সংখ্যা এবং ১ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য বা ভাগ করা সম্ভব নয়। ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা যাকে ৫ এবং ১ দ্বারায় কেবল ভাগ করা সম্ভব তাই ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতারং উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলতে কোন সংখ্যাকে এমন ভাবে বিশ্লেষন বুঝি যার উপাদান গুলো কে আর বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়। নিচের উদাহরন টি লক্ষ্য করি-

২০ একটি সংখ্যা একে বিশ্লেষণ করে পাওয়া যায়, ২x২x৫,  এখানে ২ বা ৫ এর কোন সংখ্যাকেই আর বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয় সুতারং ২ ও ৫ মৌলিক সংখ্যা। তাহলে ২০ এর উৎপাদক বা মৌলিক উৎপাদক হল ২x২x৫।

সুতারং উৎপাদক হল কোন সংখ্যা বা রাশির মৌলিক বিশ্লেষণাত্মক রূপ।

বীজগণিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণে ব্যবহার করা হয় এমন সূত্র সমূহঃ

উৎপাদকে বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত সূত্র সমূহ বেশির ভাগ ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়ে থাকে। সুতারং সূত্র গুলো মনে রাখা আবশ্যক-

১. a²-b²=(a+b)(a-b)

২. (a+b)²=a²+2ab+b²

৩. (a-b)²=a²-2ab+b²

৪. a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

৫. a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

৬. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

৭. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

৮. (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

উপরোক্ত সূত্রগুলো প্রয়গের মাধ্যমে আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে থাকি। নিচে সূত্র গুলো প্রয়োগ করে কিভাবে খুব সহজেই উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় তা নিয়ে আলোচনা করা হবে।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার নিয়ম, পদ্ধতি বা কৌশলঃ

কিছু নিয়ম মনে রেখে খুব সহজেই আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষন করতে পারি। বীজগাণিতিক কোন রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে যে সকল নিয়ম, পদ্ধতি বা কৌশল অনুসরণ করা প্রয়োজন তা নিম্নরূপ-

• ধাপ-১. রাশির পদ গুলোর মাঝে মিল আছে কিনা, মিল থাকলে কমন নিতে হবে এবং কমন নেওয়া থাকলে গুন করতে হবে।
• ধাপ-২. সূত্রে পড়ে কিনা দেখতে হবে বা সূত্রে পড়ানো যাই কি না সেটা দেখতে হবে।
• ধাপ-৩. মিডিলটার্ম পদ্ধতি অনুসরণ করা যাই কিনা সেটা দেখতে হবে।
• ধাপ-৪. ফাংশন করা যাই কিনা, গেলে ফাংশন করতে হবে।
• ধাপ-৫. মান ধরে সমাধান করা যাই কি না দেখতে হবে, না গেলে যেরূপ আছে সেরূপ রেখে দিতে হবে।

উপরোক্ত কৌশল গুলো অনুসরণ করে এবার কিছু রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাক-

• বিশ্লেষণ-১

m²+2mn²+n⁴ রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে গেলে প্রথমে দেখতে হবে কমন নেওয়া যাই কি না, আমরা রাশিটিতে দেখতে পাই ৩ টি পদ আছে এদের দুটি করে পদে মিল আছে কিন্তু দুটি পদ করে কমন নিলে একটি পদ বাকি থাকে,  অপর দিকে তিনটি পদে কমন নেওয়া যাবে না কারন তিনটি পদে মিল আছে এমন কোন উপাদান নেই। সুতারং কমন নেওয়া যাবে না। এবার আসি ২য় ধাপে, সূত্রে পড়ে কি না, হ্যা রাশিটিকে সূত্রে ফেলানো যেতে পারে, (a+b)²=a²+2ab+b² এই সূত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে। সুত্র প্রয়োগ করলে বিশ্লেষণটি হবে-

m²+2mn²+n⁴

=m²+2mn²+(n²)² [এখানে m=a এবং n²=b]

=(m+n²)²

বুঝতে অসুবিধা হলে এটি অন্য ভাবে করা যেতে পারে-

ধরি m=a এবং n²=b, মান বসিয়ে পাই-

m²+2mn²+n⁴

=m²+2mn²+(n²)²  [n²=b বসালে নিচের লাইন হবে]

=a²+2ab+(b)² [n²=b বসিয়ে]

=a²+2ab+b² [এটি (a+b)² এর সূত্র]

=(a+b)² [a=m এবং b=n² বসালে নিচের লাইন হবে]

=(m+n²)² [a=m এবং b=n² বসিয়ে]

• বিশ্লেষণ-২

m²n+nm²+mn+n²

রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে প্রথম ধাপে দেখতে হবে মিল আছে কিনা, রাশিটিতে দেখা যাই ৪ টি পদ আছে এবং ৪ টি পদে n মিল আছে সুতারং প্রথম ধাপ অনুসরণ করে কমন নিতে হবে-

m²n+n²m+mn+n²

=n(m²+nm+m+n) [সকল পদে n মিল]

=n{m(m+n)+1(m+n)} [২টি করে পদে মিল]

=n(m+n)(m+1) [২টি করে পদে মিল]

[কমন নেওয়ার কৌশল জানতে এখানে ক্লিক করুন]

• বিশ্লেষণ-৩

3m²+7m+2 রাশিটির দিকে খেয়াল করলে দেখা যায় এটি তে শুধু ১ম ও ২য় পদে কমন নেওয়া যায় কিন্তু ৩য় পদে কিছু মিল না থাকায় কমন নেওয়া সম্ভব নয়। সুতারং ১ম ধাপ বা কমন নেওয়া চলবে না। এবার দেখি সূত্রে পড়ে কি না, না এটি কোন ক্রমেই সূত্রে ফেলানো সম্ভব নয়। সুতারং ২য় ধাপ চলবে না। এবার আসি ৩য় ধাপে। মিডিল টার্ম, হ্যা এটি মিডিল টার্ম করা সম্ভব, কারন রাশিটিতে ৩ টি পদ আছে এবং চলক m এর ঘাত গুলো ধারাবাহিক ভাবে আছে অর্থাৎ ১ম পদে m এর ঘাত স্কয়ার বা 2, ২য় পদে m এর ঘাত 1 এবং ৩য় পদে m নাই। তাহলে এটা বোঝা গেল যে রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষনের জন্য মিডিল টার্ম পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে। মিডিল টার্ম করার নিয়ম সম্পর্কে অন্য কোন পাঠে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে। এখানে সংক্ষেপে বিষয়টি আলোচনা করা হল। মিডিল টার্মের নিয়ম হল, কোন রাশিতে তিনটি পদ থাকলে ৪ টি পদে রূপান্তর করা। ৪ টি পদে রূপান্তর করতে হলে ১ম পদের সংখ্যা এবং শেষ পদের সংখ্যার গুন ফলকে ভাংগিয়ে দুটি পদ করতে হবে। 3m²+7m+2 এই রাশিতে ১ম পদে সংখ্যা হল 3, শেষ পদে সংখ্যা 2, সুতারং এদের গুনফল 3x2=6. এবার 6 সংখ্যাটিকে এমন দুই ভাগে ভাগ করতে হবে যেন তাদের গুনফল 6 হয়। 6 কে অনেক ভাবে ২ ভাগ করা সম্ভব যেমন, 3x2=6, 6x1=6. এখানে 3m²+7m+2 রাশিতে মাঝের পদ ছিল 7 যা একমাত্র 6 এর দুই ভাগ 6x1 দিয়ে পুরন করা সম্ভব কারন 6 এবং 1 এর যোগফল 7 হয়। সুতারং বিশ্লেষণ হবে নিম্নরূপ-

3m²+7m+2

= 3m²+(6+1)m+2 [3x2=6=6x1,  6+1=7]

=3m²+6m+m+2 [ব্রাকেট থাকায় গুন করে পাওয়া]

=3m(m+2)+1(m+2) [জোড়ায় জোড়ায় কমন]

=(m+2)+(3m+1) [জোড়ায় জোড়ায় কমন]

• বিশ্লেষণ-৪

m³+m+2 রাশিটির উৎপাদক করতে ১ম ধাপে কমন নেওয়া সম্ভব নয়, ২য় ধাপে সূত্রে পড়ে না, ৩য় ধাপে মিডিল টার্ম করা যায় না কারন  m³ এর সহগ 1 ও শেষের সংখ্যা 2 এর গুনফল  2 এবং 2 কে ভাঙ্গিয়ে পাই 2x1=2, কিন্তু 2 এবং 1 যোগ করলে হবে 3 কিন্তু মাঝের পদে m এর সহগ আছে 1 ফলে 2 এবং 1 এর যোগ চলবে না। অপার দিকে 2 থেকে 1 বিয়োগ করলে যদিও 1 হবে তবে এ ক্ষেত্রে যেহেতু শুধু একটি পদের আগে মাইনাস হবে সেহেতু এটিও চলবে না কারন সমান সংখ্যাক পদের আগে একই প্রকার চিহ্ন না থাকলে মিডিলটার্ম করা যায় না। অন্যদিকে ১ম পদে m এর পাওয়ার বা ঘাত 3 ফলে ২য় পদে m এর ঘাত থাকার কথা ছিল 2, কিন্তু 2 না থেকে আছে 1, অর্থা রাশিটি m³+m2+2 এমন থাকলে মিডিলটার্ম হতে পারত কিন্তু আছে m³+m+2 ফলে মিডিলটার্ম কখনোয় করা সম্ভব নয়। এমত অবস্থায় m³+m+2 রাশিটির ফাংশন করতে হবে। 

ফাংশন করতে গেলে m এর পরিবর্তে এমন একটি সংখ্যা ধরতে হবে, যা ধরলে পুরো রাশির মান 0 হবে। যদি m³+m+2 রাশিতে m=-1 ধরি তবে, (-1)³+(-1)+2=-1-1+2=-2+2=0 হয়। সুতারং রাশিটির একটি উৎপাদক হবে, m-(-1)=m+1, এখানে m এর পর সূত্র অনূযায়ী - (মাইনাস) চিহ্ন বাসানো হয়েছে এবং তার পর যে মান ধরা হবে সেটা অর্থাৎ -1 বসানো হয়েছে। এখানে উত্তর হয়েছে m+1. 

এবার কয়েকটি ধাপ অবলম্বন করে উৎপাদক করা যাবে-

প্রথমত- রাশিটির ১ম পদ m³ কে ফাংশনের m দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং ভাগফল কে m দ্বারা গুন করতে হবে।

m³÷m=m² এবং m²(m+1)=m³+m²

সুতারং ১ম ধাপে বিশ্লেষণ দাড়ায়-

m²(m+1)

=m³+m² এখানে m² রাশিতে ছিল না সুতারং একে বাদ দেওয়ার জন্য -m² গুনফলের সাথে লিখতে হবে,  ফলে দাঁড়ায়-

m²(m+1)

=m³+m²-m²

দ্বিতীয়ত - অতিরিক্ত m² কে আবার ফাংশনের m দিয়ে ভাগ করতে হবে এবং ভাগ ফলকে আগের মতই আবার (m+1) দ্বারা গুন করতে হবে, অর্থাৎ m²÷m=m, এবং m(m+1)=m²+m ফলে এটুকু ১ম অংশের পরে বসালে দাঁড়ায় -

m²(m+1)-m(m+1)

=m³+m²-m²-m

তৃতীয়ত- এখানে ২য় ধাপে -m হলেও মূল রাশিতে ছিল  +m ফলে -m এর সাথে +2m হলেই -m+2m=+m হওয়া সম্ভব। সুতারং আগের মতই 2m কে ফাংশনের m দ্বারা ভাগ করে (m+1) দ্বারা গুন করলে হবে, 2m÷m=2 এবং 2(m+1)=2m+2. সুতারং তৃতীয় ধাপে দাঁড়ায় -

m²(m+1)-m(m+1)+2(m+1)

=m³+m²-m²-m+2m+2

রাশিটির সর্বচ্চ ঘাত বা পাওয়ার ছিল 3 এবং ৩ বার (m+1) দিয়ে রাশিকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে সুতারং অবশেষে উৎপাদকে বিশ্লেষণ হবে -

m³+m+2 [মূল রাশি]

=m³+m²-m²-m+2m+2 [বিশ্লেষনের ২য় লাইন]

=m²(m+1)-m(m+1)+2(m+1) [বিশ্লেষনের ১ম লাইন]

=(m+1)(m²-m+2) [কমন নেওয়া হয়েছে]

কয়েকটি রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণঃ

• m²-m-6

=m²-3m+2m-6 [মিডিলটার্ম]
=m(m-3)+2(m-3) [জোড়ায় জোড়ায় কমন]
=(m-3)(m+2) [কমন]

• m⁴-2m²+1

=(m²)²-2.m².1²+1² [সূত্রের প্রয়োগ করতে বিশ্লেষণ]
=(m²-1)² [সূত্রের প্রয়োগ]
={(m)²-(1)²}² [সূত্রের প্রয়োগ করতে বিশ্লেষণ]
={(m+1)(m-1)}² [সূত্রের প্রয়োগ]
=(m+1)²(m-1)²

• m⁴-2m²+1

=m⁴-m²-m²+1 [মিডিলটার্ম পদ্ধতি প্রয়োগ]
=m²(m²-1)-1(m²-1) [জোড়ায় জোড়ায় কমন]
=(m²-1)(m²-1) [কমন]
=(m+1)(m-1)(m+1)(m-1) [সূত্রের প্ররয়োগ করে]
=(m+1)²(m-1)²

• m⁶+1

=(m²)³+(1)³ [সূত্র প্রয়োগের জন্য বিশ্লেষণ]
=(m²+1){(m²)²-m².1+(1)²} [সূত্রের প্রয়োগ]
=(m²+1)(m⁴-m²+1)

• am³+am²n+am²+amn

=am(m²+mn+m+n) [কমন]
=am{m(m+n)+1(m+n)} [জোড়ায় জোড়ায় কমন]
=am(m+n)(m+1) [কমন]

উপরের আলোচনার মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কে আশাকরি আপনাদের মাঝে সহজ ভাবে উপস্থাপন করতে পেরেছি। ফাংশন, মিডিলটার্ম সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা নিয়ে হাজির হব অন্য কোন পাঠে। এছাড়া আপনারা কোন অংশ বুঝতে সমস্যা হলে আশাকরি কমেন্ট করে জানাবেন।

সকলের শুভকামনা করে আজ বিদায় নিচ্ছি---

কে-মাহমুদ

১৪-০৯-২০২০