পিথাগোরাসের উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য

জ্যামিতিঃ সহজ ও সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ।

ভূমিকাঃ

কোন ভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার যথা সুক্ষকোণী ত্রিভুজ, স্থুলকোণী ত্রিভুজ এবং সমকোণী ত্রিভুজ। কোন ভেদে ত্রিভুজের মধ্যে সমকোত্রিভুজ অতিব গুরুত্বপূর্ণ।

সমকোণী ত্রিভুজ

পিথাগোরাস, একজন ধর্ম যাজক ও গণিতবিদ। তিনি আবিষ্কার করলেন, "সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এর অপর বাহু দ্বয়ের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।"

পিথাগোরাসের তত্ত্বগত ধারনা আজ গণিত শাস্ত্রে খুলে দিয়েছে অনন্য সব নতুন দিগন্ত। জ্যামিতি আর ত্রিকোণমিতি সূত্রাবলীর মাধ্যমে আজ সমাধান করা সম্ভব হচ্ছে অনেক জটিল জটিল সমস্যার সমাধান। সমকোণী ত্রিভুজ আর পিথাগোরাস যেন একে অপরের পরিপূরক।

প্রিয় বন্ধুরা সকলের শুভ কামনা করছি। আশা ও বিশ্বাস সকলে ভালোছিলে এবং পরম করুণাময়ের রহমতে ভালো আছ। পূর্বের পাঠে আমাদের আলোচনা দেখতে এখানে ক্লিক কর। আজ সিদ্ধান্ত নিয়েছি আমারা আলোচনা করব সমকোণী ত্রিভুজ নিয়ে। ত্রিকোণমিতি আর জ্যামিতিতে যার ভূমিকা অপরিসীম। আর পরীক্ষার প্রস্তুতি হিসাবে সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কিত ধারনা কখনো বাধ দেওয়া চলে না। তাহলে আর কথা নয়। এবার শুরু করা যাক সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ ও তা প্রমাণ পদ্ধতি।

সমকোণ কি?

যে কোণের পরিমান ৯০ ডিগ্রী (90°) তাকে সমকোণ বলে। অর্থাৎ ৯০° এর সমান কোণ কে সমকোণ বলে বা ৯০° কোণ কেই সমকোণ বলে। মনে রাখতে হবে যে একটি রেখার সাথে অপর একটি রেখা খাড়া বা সোজা ভাবে মিলিত হলে সমকোণ উৎপন্ন হয়। সাধারন্ত আমরা যদি কোন সরল রেখার উপর লম্ব আকি তবে সমকোণ উৎপন্ন হয়। এক সমকোণ সমান ৯০°।

সমকোণী ত্রিভুজ কি?

সাধারন্ত যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা ৯০° এর সমান তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে। আমরা জানি যে, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° তাই সমকোণী ত্রিভুজে যেহেতু একটি কোণ সমকোণ বা ৯০° এর সমান তাই এর অপর দুই কোণের কোনটিই সমকোণ এমন কি স্থুল কোণ হোতে পারে না। তাই সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ এবং অপর দুইটি কোণ সুক্ষকোণ হয়ে থাকে। সুতারং এটা বলতে পারি যে যদি কোন ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ হয় তবে অপর দুটি কোণ অবশ্যই সূক্ষকোণ হবে। তাই সমকোণী ত্রিভুজ হল এমন ত্রিভুজ যার একটি কোণ সমকোণ থাকে। সুতারং যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয়ে থাকে।

বর্গ কি?

পিথাগোরাস এর সূত্র প্রমান ও বুঝতে হলে বর্গ সম্পর্কিত ধারনা থাকা অতিব গুরুত্বপূর্ন। সাধারন্ত যদি কোন চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং কোণ গুলো সমকোণ হয় তবে তাকে বর্গ বলে। বর্গের প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং এর ক্ষেত্রফল এক বাহুর বর্গ বা স্কয়ার। যদি ABCD কোন বর্গ হয় এবং তার চারটি বাহু AB, BC, CD, DA হয় তবে AB=BC=CD=DA হবে, আর এই বর্গের ক্ষেত্রফল হবে AB² বা BC² বা CD² বা DA²। অন্যদিকে যেহেতু বর্গের প্রতিটি বাহু সমান তাই প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য যদি a ধরি তবে ক্ষেত্র ফল হবে a² বা a এর বর্গ। অর্থাৎ কোন বর্গের ক্ষেত্রফল হবে বর্গক্ষেত্রের যে কোন এক বাহুর বর্গ বা স্কয়ার।

ত্রিভুজে সদৃশ্যতা

দুই বা ততোধিক ত্রিভুজে নানা ভাবে নানা রকম সদৃশ্যতা লক্ষ্য করা হয়। এর মাধ্য একটি সূত্র হল, যদি দুটি ত্রিভুজের কোণ গুলির পরিমাপ সমান সমান হয় তবে তাদের বাহুগুলোর অনুপাত সমান সমান হবে।

সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের সূত্রের প্রমাণঃ

"সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।"

মনে করি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার কোণ B=এক সমকোণ, অতিভুজ AC। প্রমান করতে হবে যে AC²=AB²+BC²

• B থেকে AC এর উপর BD লম্ব আকি যা ত্রিভুজ ABC কে সমকোণী ত্রিভুজ ABD ও সমকোণী ত্রিভুজ CBD এ বিভক্ত করে।

  

  সসমকোণী ত্রিভুজে লম্ব অংকন

• এখন ত্রিভুজ ABC ও ত্রিভুজ ABD উভয়ি সমকোণী ত্রিভুজ এবং এদের সাধারন (মিল আছে এমন) কোণ A বলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী। ফলে ১ম ত্রিভুজের অতিভুজ / ২য় ত্রিভুজের অতিভুজ = ১ম ত্রিভুজের এক বাহু / ২য় ত্রিভুজের এক বাহু। অর্থাৎ AC / AB = AB / AD বা, আড় গুন করে পাই AC.AD=AB²------(i)

  

  দুটি ত্রিভুজে সদৃশ্যতা

• অনুরূপ ভাবে ত্রিভুজ ABC ও ত্রিভুজ CBD উভয়ি সমকোণী ত্রিভুজ এবং এদের সাধারন কোণ C বলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী। ফলে ১ম ত্রিভুজের অতিভুজ / ২য় ত্রিভুজের অতিভুজ = ১ম ত্রিভুজের এক বাহু / ২য় ত্রিভুজের এক বাহু। অর্থাৎ AC / BC = BC / CD বা, আড় গুন করে পাই AC.CD=BC²---------(ii)

  

  সদৃশ্যতা

• (i) ও (ii) যোগ করে পাই, AC.AD+AC.CD=AB²+BC² বা, কমন নিয়ে পাই AC(AD+CD)=AB²+BC² বা AC.AC=AB²+BC² বা AC²=AB²+BC² (প্রমাণিত)

বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ

AD ও CD যোগ করে পাওয়া যায় AD+CD যা মিলে হয় সম্পুর্ণ AC বাহু, তাই AC+CD এর পরিবর্তে AC লিখা হয়েছে।

তা বন্দুরা একটা জিনিস মনে রেখ আর তা হল সমকোণীী ত্রিভুজে কোন বাহুর উপর অংকিত বর্গ ক্ষেত্রের ক্ষেত্র ফল হবে সেই বাহুর বর্গ। এজন্য অতিভুজ AC এর উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে AC এর বর্গ বা AC²। তাই বাহু গুলোর উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল বোঝাতে AC², BC², AB² ব্যবহার করা হয়েছে।

কে-মাহমুদ

২৮-১২-২০১৯